和と差をとって解く連立漸化式（A）

2 式を辺々加えると $a_{n+1}+b_{n+1}=3(a_n+b_n)$．$\{a_n+b_n\}$ は初項 $3$，公比 $3$ の等比数列で \[ a_n+b_n=3^n \quad\cdots\text{①} \] 辺々引くと $a_{n+1}-b_{n+1}=-(a_n-b_n)$．$\{a_n-b_n\}$ は初項 $1$，公比 $-1$ の等比数列で \[ a_n-b_n=(-1)^{n-1} \quad\cdots\text{②} \] ①，② より \[ a_n=\frac{3^n+(-1)^{n-1}}{2},\qquad b_n=\frac{3^n-(-1)^{n-1}}{2} \] （確認：$a_2=4$，$b_2=5$）