隣接3項間の漸化式（フィボナッチ型）（B）

特性方程式 $x^2=x+1$ の解を $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ とすると，$\alpha+\beta=1$，$\alpha\beta=-1$ であり， \[ a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n),\qquad a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n) \] と変形できる（展開すると $a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n$ となる）． ここで \[ a_2-\alpha a_1=3-\alpha=\frac{5-\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{5}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{5}\,\beta \] \[ a_2-\beta a_1=3-\beta=\frac{5+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\,\alpha \] よって，数列 $\{a_{n+1}-\alpha a_n\}$ は初項 $-\sqrt{5}\,\beta$，公比 $\beta$ の等比数列，数列 $\{a_{n+1}-\beta a_n\}$ は初項 $\sqrt{5}\,\alpha$，公比 $\alpha$ の等比数列であるから \[ a_{n+1}-\alpha a_n=-\sqrt{5}\,\beta^n \quad\cdots\text{①},\qquad a_{n+1}-\beta a_n=\sqrt{5}\,\alpha^n \quad\cdots\text{②} \] ②$-$① より $(\alpha-\beta)a_n=\sqrt{5}(\alpha^n+\beta^n)$．$\alpha-\beta=\sqrt{5}$ であるから \[ a_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \]