隣接3項間の漸化式（フィボナッチ型）（A）

特性方程式 $x^2=x+1$ の解を $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ とすると，$\alpha+\beta=1$，$\alpha\beta=-1$ であり， \[ a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n),\qquad a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n) \] と変形できる（展開すると $a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n$ となる）． $a_2-\alpha a_1=1-\alpha=\beta$，$a_2-\beta a_1=1-\beta=\alpha$ であるから，数列 $\{a_{n+1}-\alpha a_n\}$ は初項 $\beta$，公比 $\beta$ の等比数列，数列 $\{a_{n+1}-\beta a_n\}$ は初項 $\alpha$，公比 $\alpha$ の等比数列である．よって \[ a_{n+1}-\alpha a_n=\beta\cdot\beta^{n-1}=\beta^n \quad\cdots\text{①},\qquad a_{n+1}-\beta a_n=\alpha^n \quad\cdots\text{②} \] ②$-$① より $(\alpha-\beta)a_n=\alpha^n-\beta^n$．$\alpha-\beta=\sqrt{5}$ であるから \[ a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \]