特性方程式の解に1を含む3項漸化式（B）

特性方程式 $x^2=4x-3$ の解は $x=1,\ 3$ で，$1$ を解にもつ．このときは階差数列を利用するとよい． 漸化式は $a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)$ と変形できるから，階差数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=1$，公比 $3$ の等比数列で \[ a_{n+1}-a_n=3^{n-1} \] $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k-1}=1+\frac{3^{n-1}-1}{3-1}=\frac{3^{n-1}+1}{2} \] これは $n=1$ のときも成り立つ．よって $a_n=\dfrac{3^{n-1}+1}{2}$