特性方程式の解に1を含む3項漸化式（A）

特性方程式 $x^2=3x-2$ の解は $x=1,\ 2$ で，$1$ を解にもつ．このときは階差数列を利用するとよい． 漸化式は $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)$ と変形できるから，階差数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=2$，公比 $2$ の等比数列で \[ a_{n+1}-a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n \] $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}2^k=1+(2^n-2)=2^n-1 \] これは $n=1$ のときも成り立つ．よって $a_n=2^n-1$