特性方程式が異なる2解をもつ3項漸化式（B）

特性方程式 $x^2=x+2$ を解くと $x=-1,\ 2$．よって，漸化式は次の 2 通りに変形できる． \[ a_{n+2}+a_{n+1}=2(a_{n+1}+a_n),\qquad a_{n+2}-2a_{n+1}=-(a_{n+1}-2a_n) \] $\{a_{n+1}+a_n\}$ は初項 $a_2+a_1=1$，公比 $2$ の等比数列で $a_{n+1}+a_n=2^{n-1}$ …① $\{a_{n+1}-2a_n\}$ は初項 $a_2-2a_1=1$，公比 $-1$ の等比数列で $a_{n+1}-2a_n=(-1)^{n-1}$ …② ①$-$② より $3a_n=2^{n-1}-(-1)^{n-1}$．よって \[ a_n=\frac{2^{n-1}-(-1)^{n-1}}{3} \] （確認：$a_3=1$，$a_4=3$ で，$\dfrac{4-1}{3}=1$，$\dfrac{8+1}{3}=3$）