特性方程式が異なる2解をもつ3項漸化式（A）

特性方程式 $x^2=5x-6$ を解くと $x=2,\ 3$．よって漸化式は次の 2 通りに変形できる． \[ a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n),\qquad a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) \] 1 つ目より，$\{a_{n+1}-2a_n\}$ は初項 $a_2-2a_1=2$，公比 $3$ の等比数列で \[ a_{n+1}-2a_n=2\cdot 3^{n-1} \quad\cdots\text{①} \] 2 つ目より，$\{a_{n+1}-3a_n\}$ は初項 $a_2-3a_1=1$，公比 $2$ の等比数列で \[ a_{n+1}-3a_n=2^{n-1} \quad\cdots\text{②} \] ①$-$② より $a_n=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}$ （確認：$a_3=5\cdot 4-6\cdot 1=14=18-4$）