積の形にして解く漸化式（B）

$n\geqq 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n+2}{3}a_n-\dfrac{n+1}{3}a_{n-1}$ であるから \[ (n-1)a_n=(n+1)a_{n-1} \qquad\text{すなわち}\quad a_n=\frac{n+1}{n-1}a_{n-1} \] $n\geqq 2$ のとき \begin{align*} a_n&=\frac{n+1}{n-1}\cdot\frac{n}{n-2}\cdot\frac{n-1}{n-3}\cdots\frac{4}{2}\cdot\frac{3}{1}\cdot a_1\\ &=\frac{(n+1)n}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}n(n+1) \end{align*} （分子の $3,\ 4,\ \cdots,\ n-1$ と分母の $3,\ 4,\ \cdots,\ n-1$ が約分され，分子に $(n+1)n$，分母に $2\cdot 1$ が残る．） $n=1$ のとき $\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$ で成り立つ．よって $a_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$ （確認：$a_2=3$，$S_2=4=\dfrac{4}{3}\cdot 3$）