積の形にして解く漸化式（A）

$n\geqq 2$ のとき，漸化式をくり返し用いると \begin{align*} a_n&=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdots\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot a_1\\ &=\frac{(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}{(n+1)n(n-1)\cdots 4\cdot 3}=\frac{2\cdot 1}{(n+1)n}=\frac{2}{n(n+1)} \end{align*} （分子の $3,\ 4,\ \cdots,\ n-1$ と分母の $3,\ 4,\ \cdots,\ n-1$ が約分され，分子に $2\cdot 1$，分母に $(n+1)n$ が残る．） $n=1$ のとき $\dfrac{2}{1\cdot 2}=1$ で成り立つ．よって $a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}$ （別解）両辺に $n(n+1)$ を掛けると $n(n+1)a_n=(n-1)n\,a_{n-1}$ となり，$\{n(n+1)a_n\}$ は定数列で $n(n+1)a_n=1\cdot 2\cdot a_1=2$