両辺を n の式で割って解く漸化式（A）

両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ると \[ \frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{a_n}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \] $b_n=\dfrac{a_n}{n(n+1)}$ とおくと $b_1=\dfrac{1}{2}$ で \[ b_{n+1}-b_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \] $n\geqq 2$ のとき \[ b_n=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \] これは $n=1$ のときも成り立つ．よって \[ a_n=n(n+1)b_n=n^2 \] （確認：$1\cdot a_2=3\cdot 1+1=4$，$2a_3=4\cdot 4+2=18$ より $a_3=9$）