逆数をとって解く漸化式（B）

$a_1>0$ で，$a_n>0$ ならば $a_{n+1}>0$ であるから，すべての $n$ について $a_n>0$． 両辺の逆数をとると \[ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2a_n+3}{a_n}=\frac{3}{a_n}+2 \] $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと $b_{n+1}=3b_n+2$，$b_1=1$．$b_{n+1}+1=3(b_n+1)$ より，数列 $\{b_n+1\}$ は初項 $b_1+1=2$，公比 $3$ の等比数列であるから \[ b_n+1=2\cdot 3^{n-1} \qquad b_n=2\cdot 3^{n-1}-1 \] よって $a_n=\dfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}$ （確認：$a_2=\dfrac{1}{5}$，$a_3=\dfrac{1/5}{2/5+3}=\dfrac{1}{17}$）