逆数をとって解く漸化式（A）

$a_1>0$ であり，$a_n>0$ ならば $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3a_n+1}>0$ であるから，すべての $n$ について $a_n>0$（特に $a_n\neq 0$）． 漸化式の両辺の逆数をとると \[ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+3 \] $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと，$\{b_n\}$ は初項 $1$，公差 $3$ の等差数列で $b_n=3n-2$． よって $a_n=\dfrac{1}{3n-2}$