aₙ₊₁=paₙ+qⁿ の両辺を累乗で割って解く（A）

両辺を $3^{n+1}$ で割ると \[ \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3} \] $b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと $b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{3}$，$b_1=\dfrac{1}{3}$． $\beta=\dfrac{2}{3}\beta+\dfrac{1}{3}$ より $\beta=1$ で，$b_{n+1}-1=\dfrac{2}{3}(b_n-1)$． よって，数列 $\{b_n-1\}$ は初項 $b_1-1=-\dfrac{2}{3}$，公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列であるから \[ b_n-1=\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=-\left(\frac{2}{3}\right)^n \] $b_n=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ であるから \[ a_n=3^n b_n=3^n-2^n \] （別解：両辺を $2^{n+1}$ で割ると $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{a_n}{2^n}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ となり，階差数列の形から求めることもできる．）