差をとって n の項を消す漸化式（B）

$a_{n+1}-\{\alpha(n+1)+\beta\}=3\{a_n-(\alpha n+\beta)\}$ を満たす $\alpha$，$\beta$ を求める．展開すると \[ a_{n+1}=3a_n-2\alpha n-2\beta+\alpha \] もとの式と比べて $-2\alpha=-2$，$-2\beta+\alpha=1$．よって $\alpha=1$，$\beta=0$ で \[ a_{n+1}-(n+1)=3(a_n-n) \] $\{a_n-n\}$ は初項 $a_1-1=1$，公比 $3$ の等比数列であるから \[ a_n-n=3^{n-1} \qquad\text{よって}\quad a_n=3^{n-1}+n \] （確認：$a_2=3\cdot 2-2+1=5=3+2$） （別解）階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ をとると $b_{n+1}=3b_n-2$，$b_1=3$ となり，$b_n=2\cdot 3^{n-1}+1$ から同じ結果が得られる．