差をとって n の項を消す漸化式（A）

解法 1（階差数列を利用） $a_{n+2}=2a_{n+1}+n$ と $a_{n+1}=2a_n+n-1$ の辺々を引くと \[ a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+1 \] $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと $b_{n+1}=2b_n+1$，$b_1=a_2-a_1=2-1=1$． $b_{n+1}+1=2(b_n+1)$ より，数列 $\{b_n+1\}$ は初項 $b_1+1=2$，公比 $2$ の等比数列であるから $b_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n$，すなわち $b_n=2^n-1$． $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k-1)=1+(2^n-2)-(n-1)=2^n-n \] これは $n=1$ のときも成り立つ． 解法 2（$a_n+\alpha n+\beta$ が等比数列となるようにする） $a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_n+\alpha n+\beta)$ を展開すると $a_{n+1}=2a_n+\alpha n+\beta-\alpha$． もとの式と比べて $\alpha=1$，$\beta-\alpha=-1$ より $\beta=0$．よって $a_{n+1}+(n+1)=2(a_n+n)$． $\{a_n+n\}$ は初項 $2$，公比 $2$ の等比数列であるから $a_n+n=2^n$，すなわち $a_n=2^n-n$