aₙ₊₁=paₙ+q を特性方程式で解く（B）

(1) $\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3$ より $\alpha=6$．漸化式は $a_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}(a_n-6)$ と変形できる． $\{a_n-6\}$ は初項 $1-6=-5$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから \[ a_n-6=-5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \qquad\text{よって}\quad a_n=6-5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] 下図のように，直線 $y=\dfrac{1}{2}x+3$ と $y=x$ を使って $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$ を順に作図すると，2 直線の交点の $x$ 座標 $6$ に近づいていく様子がわかる． (2) $\alpha=-2\alpha+3$ より $\alpha=1$．$a_{n+1}-1=-2(a_n-1)$ であるから，$\{a_n-1\}$ は初項 $1$，公比 $-2$ の等比数列． \[ a_n-1=(-2)^{n-1} \qquad\text{よって}\quad a_n=(-2)^{n-1}+1 \]