aₙ₊₁=paₙ+q を特性方程式で解く（A）

漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ は，$\alpha=p\alpha+q$ を満たす $\alpha$ を用いて $a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ と変形できる． (1) $\alpha=3\alpha+4$ より $\alpha=-2$．漸化式は $a_{n+1}+2=3(a_n+2)$ と変形できる． 数列 $\{a_n+2\}$ は初項 $a_1+2=3$，公比 $3$ の等比数列であるから \[ a_n+2=3\cdot 3^{n-1}=3^n \qquad\text{よって}\quad a_n=3^n-2 \] （下図のように，$a_n$ と $-2$ との差が 1 項ごとに 3 倍になっていく．） (2) $\alpha=2\alpha-3$ より $\alpha=3$．$a_{n+1}-3=2(a_n-3)$ であるから，$\{a_n-3\}$ は初項 $2$，公比 $2$ の等比数列． \[ a_n-3=2\cdot 2^{n-1}=2^n \qquad\text{よって}\quad a_n=2^n+3 \]