等差・等比・階差型の漸化式（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 等差・等比・階差型の漸化式（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_1=10,\quad a_{n+1}=a_n-3$
\item[(2)] $a_1=5,\quad a_{n+1}=-2a_n$
\item[(3)] $a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+3^n$
\end{enumerate}
(1) 初項 $10$，公差 $-3$ の等差数列であるから $a_n=10-3(n-1)=13-3n$
(2) 初項 $5$，公比 $-2$ の等比数列であるから $a_n=5\cdot(-2)^{n-1}$
(3) 階差数列の第 $n$ 項は $3^n$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}3^k=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=\frac{3^n+1}{2} \]
$n=1$ のとき $\dfrac{3+1}{2}=2$ で $a_1$ と一致するから $a_n=\dfrac{3^n+1}{2}$
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