等差・等比・階差型の漸化式（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 等差・等比・階差型の漸化式（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n+4$
\item[(2)] $a_1=2,\quad a_{n+1}=3a_n$
\item[(3)] $a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2n+1$
\end{enumerate}
(1) 初項 $3$，公差 $4$ の等差数列であるから $a_n=3+4(n-1)=4n-1$
(2) 初項 $2$，公比 $3$ の等比数列であるから $a_n=2\cdot 3^{n-1}$
(3) $a_{n+1}-a_n=2n+1$ より，階差数列の第 $n$ 項は $2n+1$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)=1+(n-1)n+(n-1)=n^2 \]
$n=1$ のとき $1^2=1$ で $a_1$ と一致するから $a_n=n^2$
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