条件を満たす格子点の個数（B）

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=n^2$ は $x\geqq 0$ で点 $(n,\ n^2)$ で交わるから，領域の $x$ の範囲は $0\leqq x\leqq n$（下図は $n=3$ の場合）． 直線 $x=k$（$k=0,\ 1,\ \cdots,\ n$）上の格子点は，$k^2\leqq y\leqq n^2$ を満たす整数 $y$ の個数で $n^2-k^2+1$ 個．これを $k=0,\ 1,\ \cdots,\ n$ の $n+1$ 個について加える．$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2$ であるから \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}(n^2-k^2+1)&=(n^2+1)(n+1)-\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &=\frac{1}{6}(n+1)\{6n^2+6-n(2n+1)\}=\frac{1}{6}(n+1)(4n^2-n+6) \end{align*} （$n=3$ のとき $10+9+6+1=26$）