条件を満たす格子点の個数（A）

領域は 3 点 $(0,\ 0)$，$(2n,\ 0)$，$(0,\ n)$ を頂点とする三角形の周および内部である（下図は $n=3$ の場合）． 直線 $y=k$（$k=0,\ 1,\ \cdots,\ n$）上の格子点は，$0\leqq x\leqq 2n-2k$ を満たす整数 $x$ の個数だけあるから $2n-2k+1$ 個．これを $k=0,\ 1,\ \cdots,\ n$ の $n+1$ 個について加える．$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k$ であるから \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}(2n-2k+1)&=(2n+1)(n+1)-2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=(n+1)(2n+1-n)=(n+1)^2 \end{align*} （$n=3$ のとき $7+5+3+1=16=4^2$）