正方形状に並べた自然数の位置（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 正方形状に並べた自然数の位置（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
下の図のように，自然数を左下から右上へ向かう斜めの列に順に並べていく．上から $i$ 行目，左から $j$ 列目の数を $(i,\ j)$ で表す．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 上から 1 行目，左から $n$ 列目の数 $(1,\ n)$ を $n$ の式で表せ．
\item[(2)] $(i,\ j)$ を $i,\ j$ の式で表せ．
\item[(3)] $100$ は上から何行目，左から何列目にあるか．
\end{enumerate}
$i+j-1=k$ となる斜めの列を第 $k$ 群とみると，第 $k$ 群には $k$ 個の数が $(k,\ 1)$ から $(1,\ k)$ まで並び，第 $k$ 群までに $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ 個の数がある．
(1) $(1,\ n)$ は第 $n$ 群の最後の数であるから $(1,\ n)=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
(2) $(i,\ j)$ は第 $k=i+j-1$ 群の $j$ 番目の数である．第 $k-1$ 群までに $\dfrac{1}{2}(k-1)k$ 個あるから
\[ (i,\ j)=\frac{1}{2}(i+j-2)(i+j-1)+j \]
（確認：$(2,\ 2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3+2=5$）
(3) $\dfrac{1}{2}\cdot 13\cdot 14=91<100\leqq 105=\dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 15$ であるから，$100$ は第 14 群の $100-91=9$ 番目．よって $j=9$，$i=14+1-9=6$
上から 6 行目，左から 9 列目
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