群に分けて考える数列の第何項と和（B）

第 $k$ 群を $1,\ 2,\ \cdots,\ k$ の $k$ 個の数とする群数列とみる（下図）．第 $k$ 群までの項数は $\dfrac{1}{2}k(k+1)$． (1) $10$ が初めて現れるのは第 10 群の最後であるから，$\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 11=55$ より第 55 項 (2) 第 13 群までに $91$ 項，第 14 群までに $105$ 項あるから，第 100 項は第 14 群の 9 番目で $9$ (3) 第 $k$ 群の和は $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ であるから，第 13 群までの和は \[ \sum_{k=1}^{13}\frac{1}{2}k(k+1)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{13}k^2+\sum_{k=1}^{13}k\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\cdot 13\cdot 14\cdot 27+\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 14\right)=\frac{1}{2}(819+91)=455 \] 第 14 群の 9 番目までの和は $1+2+\cdots+9=45$．よって $455+45=500$