群に分けて考える数列の第何項と和（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 群に分けて考える数列の第何項と和（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
分数の列を次のように群に分ける．
\[ \frac{1}{1}\ \Big|\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2}\ \Big|\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3}\ \Big|\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4}\ \Big|\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{7}{12}$ は初めから数えて第何項か．
\item[(2)] 第 100 項を求めよ．
\item[(3)] 初項から第 100 項までの和を求めよ．
\end{enumerate}
第 $k$ 群は分母が $k$ の $k$ 個の分数 $\dfrac{1}{k},\ \dfrac{2}{k},\ \cdots,\ \dfrac{k}{k}$ からなり，第 $k$ 群までの項数は $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ である．
(1) $\dfrac{7}{12}$ は第 12 群の 7 番目．第 11 群までに $\dfrac{1}{2}\cdot 11\cdot 12=66$ 項あるから，$66+7=73$ より第 73 項
(2) 第 13 群までに $91$ 項，第 14 群までに $105$ 項あるから，第 100 項は第 14 群の $100-91=9$ 番目で $\dfrac{9}{14}$
(3) 第 $k$ 群の和は $\dfrac{1}{k}(1+2+\cdots+k)=\dfrac{k+1}{2}$ であるから，第 13 群までの和は
\[ \sum_{k=1}^{13}\frac{k+1}{2}=\frac{1}{2}(91+13)=52 \]
第 14 群の 1 番目から 9 番目までの和は $\dfrac{1+2+\cdots+9}{14}=\dfrac{45}{14}$
よって $52+\dfrac{45}{14}=\dfrac{773}{14}$
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