自然数を区切った群の何番目（B）

(1) 第 $n-1$ 群までに $\dfrac{1}{2}(n-1)n$ 個の奇数があるから，第 $n$ 群の最初の数は $\dfrac{1}{2}n(n-1)+1$ 番目の奇数で \[ 2\left\{\frac{1}{2}n(n-1)+1\right\}-1=n^2-n+1 \] （$n=1$ のときも成り立つ） (2) 初項 $n^2-n+1$，公差 $2$，項数 $n$ の等差数列の和であるから \[ \frac{n}{2}\{2(n^2-n+1)+2(n-1)\}=n\cdot n^2=n^3 \] （下図のように，各段の和が $1,\ 8,\ 27,\ 64,\ \cdots$ となっている．） (3) $999=2\cdot 500-1$ より，$999$ は 500 番目の奇数．$\dfrac{1}{2}\cdot 31\cdot 32=496$，$\dfrac{1}{2}\cdot 32\cdot 33=528$ であるから，500 番目は第 32 群の $500-496=4$ 番目． よって第 32 群の 4 番目