自然数を区切った群の何番目（A）

(1) 第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までに含まれる数の個数は $1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{1}{2}(n-1)n$ 個である（下図）． よって第 $n$ 群の最初の数は $\dfrac{1}{2}n(n-1)+1$（$n=1$ のときも成り立つ） (2) 第 $n$ 群は，初項 $\dfrac{1}{2}n(n-1)+1$，公差 $1$，項数 $n$ の等差数列であるから，和は \[ \frac{n}{2}\left\{2\left(\frac{1}{2}n(n-1)+1\right)+(n-1)\right\}=\frac{n}{2}(n^2+1)=\frac{1}{2}n(n^2+1) \] (3) 第 $n$ 群の最後の数は $\dfrac{1}{2}n(n+1)$．$n=13$ のとき $91$，$n=14$ のとき $105$ であるから，$100$ は第 14 群に含まれる．第 14 群の最初の数は $92$ なので，$100$ は $100-91=9$ 番目． よって第 14 群の 9 番目