奇数番目と偶数番目に分けて求める和（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 奇数番目と偶数番目に分けて求める和（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
数列 $\{a_n\}$ は
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 7,\ 8,\ 10,\ 16,\ 13,\ 32,\ \cdots \]
であり，奇数番目の項は公差 $3$ の等差数列，偶数番目の項は公比 $2$ の等比数列をなしている．初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $S_{2m}$ を $m$ の式で表せ．
\item[(2)] $S_{2m-1}$ を $m$ の式で表せ．
\item[(3)] $S_n>1000$ となる最小の $n$ を求めよ．
\end{enumerate}
$a_{2k-1}=3k-2$，$a_{2k}=2^k$ である．
(1) $S_{2m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(3k-2)+\sum_{k=1}^{m}2^k=\frac{1}{2}m(3m-1)+2^{m+1}-2$
(2) $S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m}=\dfrac{1}{2}m(3m-1)+2^m-2$
(3) すべての項は正であるから，$S_n$ は $n$ について増加する．
$S_{16}=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 23+2^9-2=92+510=602$，$S_{17}=S_{16}+a_{17}=602+25=627$，
$S_{18}=\dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 26+2^{10}-2=117+1022=1139$
$S_{17}=627\leqq 1000<S_{18}$ であるから，求める $n$ は $n=18$
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