奇数番目と偶数番目に分けて求める和（A）

2 項ずつ組にして考える．$m$ を自然数とする． (i) $n=2m$ のとき \[ S_{2m}=\sum_{k=1}^{m}\{(2k-1)^2-(2k)^2\}=\sum_{k=1}^{m}(-4k+1)=-2m(m+1)+m=-m(2m+1) \] $m=\dfrac{n}{2}$ を代入して $S_n=-\dfrac{n}{2}(n+1)=-\dfrac{1}{2}n(n+1)$ (ii) $n=2m-1$ のとき \[ S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m}=-m(2m+1)+4m^2=m(2m-1) \] $m=\dfrac{n+1}{2}$ を代入して $S_n=\dfrac{n+1}{2}\cdot n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$ (i)，(ii) をまとめると $S_n=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{1}{2}n(n+1)$ （確認：$S_1=1$，$S_2=-3$，$S_3=6$，$S_4=-10$）