部分分数・有理化で差の形にして求める和（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 部分分数・有理化で差の形にして求める和（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の和を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\dfrac{1}{1+2+\cdots+n}$
\item[(2)] $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$
\end{enumerate}
(1) 第 $k$ 項は $\dfrac{1}{\frac{1}{2}k(k+1)}=\dfrac{2}{k(k+1)}=2\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)$ であるから
\[ \sum_{k=1}^{n}2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1} \]
(2) $\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}=\dfrac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{(2k+1)-(2k-1)}=\dfrac{1}{2}(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})$ であるから
\[ \frac{1}{2}\{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\}=\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \]
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