部分分数・有理化で差の形にして求める和（A）

(1) $\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{2}{k(k+1)(k+2)}$ であるから \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}&=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} (2) 分母を有理化すると $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ であるから \[ \sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1 \]