差に分けて打ち消し合う和（分数の数列）（B）

(1) $\dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}\right)$ であるから \[ \frac{1}{3}\left\{\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)\right\}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right)=\frac{n}{3n+1} \] (2) $\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ である．1 つおきに打ち消し合うので，最初の 2 つの正の項と最後の 2 つの負の項が残る． \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*}