差に分けて打ち消し合う和（分数の数列）（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 差に分けて打ち消し合う和（分数の数列）（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の和を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$
\item[(2)] $\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ であるから，隣り合う項が打ち消し合って
\[ \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \]
(2) $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$ であるから
\[ \frac{1}{2}\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1} \]
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます