和 Sₙ から一般項 aₙ を求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 和 Sₙ から一般項 aₙ を求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=2^{n+1}-2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\item[(2)] 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=3^n+2$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\item[(3)] (1) の数列について，奇数番目の項の和 $a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}$ を求めよ．
\end{enumerate}
$a_1=S_1$，$n\geqq 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}$ を用いる．
(1) $a_1=S_1=2$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=(2^{n+1}-2)-(2^n-2)=2^n \]
$n=1$ のとき $2^1=2$ で $a_1$ と一致するから $a_n=2^n$
(2) $a_1=S_1=5$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=(3^n+2)-(3^{n-1}+2)=3^n-3^{n-1}=2\cdot 3^{n-1} \]
$n=1$ のとき $2\cdot 3^0=2\neq 5$ であるから，$a_1=5$，$n\geqq 2$ のとき $a_n=2\cdot 3^{n-1}$
(3) $a_{2k-1}=2^{2k-1}=2\cdot 4^{k-1}$ であるから，$a_1,\ a_3,\ \cdots,\ a_{2n-1}$ は初項 $2$，公比 $4$ の等比数列である．よって
\[ a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2}{3}(4^n-1) \]
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