和 Sₙ から一般項 aₙ を求める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 和 Sₙ から一般項 aₙ を求める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^2+4n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\item[(2)] 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^2+n+1$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
\item[(3)] (1) の数列について，偶数番目の項の和 $a_2+a_4+\cdots+a_{2n}$ を求めよ．
\end{enumerate}
$a_1=S_1$，$n\geqq 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}$ を用いる．
(1) $a_1=S_1=5$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=(n^2+4n)-\{(n-1)^2+4(n-1)\}=2n+3 \]
$n=1$ のとき $2\cdot 1+3=5$ で $a_1$ と一致するから $a_n=2n+3$
(2) $a_1=S_1=3$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=(n^2+n+1)-\{(n-1)^2+(n-1)+1\}=2n \]
$n=1$ のとき $2\cdot 1=2\neq 3$ であるから，$a_1=3$，$n\geqq 2$ のとき $a_n=2n$
(3) $a_{2k}=2\cdot 2k+3=4k+3$ であるから
\[ a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=\sum_{k=1}^{n}(4k+3)=2n(n+1)+3n=2n^2+5n \]
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