階差をさらにとって一般項を求める（B）

$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$，$\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とすると \[ \{b_n\}:\ 1,\ 2,\ 5,\ 14,\ 41,\ \cdots \qquad \{c_n\}:\ 1,\ 3,\ 9,\ 27,\ \cdots \] $c_n=3^{n-1}$ であるから，$n\geqq 2$ のとき \[ b_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k-1}=1+\frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^{n-1}+1}{2} \] これは $n=1$ でも成り立つ．さらに $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{3^{k-1}+1}{2}=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{3^{n-1}+2n+1}{4} \] $n=1$ を代入すると $\dfrac{1+3}{4}=1$ となり $a_1=1$ と一致する． よって $a_n=\dfrac{3^{n-1}+2n+1}{4}$