階差をさらにとって一般項を求める（A）

$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$，$\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とすると（下図） \[ \{b_n\}:\ 1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ \cdots \qquad \{c_n\}:\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots \] $c_n=2n$ であるから，$n\geqq 2$ のとき \[ b_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}2k=1+(n-1)n=n^2-n+1 \] これは $n=1$ でも成り立つ．さらに $n\geqq 2$ のとき \begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k^2-k+1)=2+\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)-\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\ &=\frac{1}{3}(n^3-3n^2+5n+3) \end{align*} $n=1$ を代入すると $\dfrac{1}{3}(1-3+5+3)=2$ となり $a_1=2$ と一致する． よって $a_n=\dfrac{1}{3}(n^3-3n^2+5n+3)$