階差数列から一般項を求める（B）

階差数列 $\{b_n\}$ は $1,\ 3,\ 9,\ 27,\ \cdots$ で，初項 $1$，公比 $3$ の等比数列であるから $b_n=3^{n-1}$（下図）． $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k-1}=1+\frac{3^{n-1}-1}{3-1}=\frac{3^{n-1}+1}{2} \] $n=1$ を代入すると $\dfrac{1+1}{2}=1$ となり $a_1=1$ と一致する． よって $a_n=\dfrac{3^{n-1}+1}{2}$