k(n−k+1) 型の項を足す（B）

第 $k$ 項は $k^2(n+1-k)=(n+1)k^2-k^3$ である．$n$ を定数として扱うと \begin{align*} S&=\sum_{k=1}^{n}\{(n+1)k^2-k^3\}=(n+1)\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\ &=\frac{1}{12}n(n+1)^2\{2(2n+1)-3n\}=\frac{1}{12}n(n+1)^2(n+2) \end{align*}