k(n−k+1) 型の項を足す（A）

第 $k$ 項は $k\{n-(k-1)\}=k(n+1-k)$ である．$n$ は $k$ に関係しない定数として扱うと \begin{align*} S&=\sum_{k=1}^{n}\{(n+1)k-k^2\}=(n+1)\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{3(n+1)-(2n+1)\}=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \end{align*}