第 k 項を求めてから Σ で和を計算（B）

(1) 第 $k$ 項は $(2k-1)(2k+1)=4k^2-1$ であるから \[ \sum_{k=1}^{n}(4k^2-1)=4\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-n=\frac{1}{3}n\{2(n+1)(2n+1)-3\}=\frac{1}{3}n(4n^2+6n-1) \] (2) 第 $k$ 項は $1+2+\cdots+k=\dfrac{1}{2}k(k+1)=\dfrac{1}{2}(k^2+k)$ であるから \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(k^2+k)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\right\}=\frac{1}{12}n(n+1)(2n+4)=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \]