第 k 項を求めてから Σ で和を計算（A）

(1) 第 $k$ 項は $k(k+1)=k^2+k$ であるから \[ \sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+4)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \] (2) 第 $k$ 項は $(2k-1)^2=4k^2-4k+1$ であるから \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}(4k^2-4k+1)&=4\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n\\ &=\frac{1}{3}n\{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\}=\frac{1}{3}n(4n^2-1)\\ &=\frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1) \end{align*}