Σ の性質と基本公式の計算（B）

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(4k+1)=4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n=n(2n+3)$ (2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k-1)=\sum_{k=1}^{n}(k^2-k)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1-3)=\frac{1}{3}(n-1)n(n+1)$ (3) 初項 $4$，公比 $4$，項数 $n$ の等比数列の和であるから \[ \sum_{k=1}^{n}4^k=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4}{3}(4^n-1) \] (4) $k=1$ から $20$ までの和から，$k=1$ から $10$ までの和を引く． \[ \sum_{k=11}^{20}k^2=\frac{1}{6}\cdot 20\cdot 21\cdot 41-\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11\cdot 21=2870-385=2485 \]