Σ の性質と基本公式の計算（A）

和の公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$ を用いる． (1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k-2)=3\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-2n=\frac{1}{2}n(3n+3-4)=\frac{1}{2}n(3n-1)$ (2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1+3)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ (3) 初項 $2$，公比 $3$，項数 $n$ の等比数列の和であるから \[ \sum_{k=1}^{n}2\cdot 3^{k-1}=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1 \] (4) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^3=\left(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 11\right)^2=55^2=3025$