初めて 10 の累乗を超える番号（対数の利用）（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 初めて 10 の累乗を超える番号（対数の利用）（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
初項 $2$，公比 $4$ の等比数列 $\{a_n\}$ について，次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $b_n=\log_2 a_n$ とおくとき，$b_n$ を $n$ の式で表し，$b_1+b_2+\cdots+b_n$ を求めよ．
\item[(2)] 積 $a_1a_2\cdots a_n$ が初めて $10^{30}$ を超えるときの $n$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $a_n=2\cdot 4^{n-1}=2^{2n-1}$ より $b_n=2n-1$．数列 $\{b_n\}$ は初項 $1$，公差 $2$ の等差数列で
\[ b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2 \]
(2) $\log_2(a_1a_2\cdots a_n)=b_1+\cdots+b_n=n^2$ より $a_1a_2\cdots a_n=2^{n^2}$．
$2^{n^2}>10^{30}$ の両辺の常用対数をとると $0.3010n^2>30$，$n^2>99.6\cdots$．
$n^2>99.6\cdots$ を満たす最小の自然数は $n=10$（$9^2=81$，$10^2=100$）．よって $n=10$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます