初めて 10 の累乗を超える番号（対数の利用）（A）

初項から第 $n$ 項までの和は $S_n=\dfrac{3^n-1}{2}$ で，$n$ が大きくなるほど大きくなる． よって，$S_n>10^{10}$ となるのは　$3^n>2\cdot 10^{10}+1$　のときである． $\log_{10}3^n=0.4771n$ を用いて，境目付近の $n$ を調べる． $n=21$ のとき $\log_{10}3^{21}=10.0191$ であり，$\log_{10}(2\cdot 10^{10})=10.3010$ より小さいから $3^{21}<2\cdot 10^{10}$．よって $S_{21}<10^{10}$ $n=22$ のとき $\log_{10}3^{22}=10.4962$ であり，$3^{22}>10^{10.4771}=3\cdot 10^{10}>2\cdot 10^{10}+1$．よって $S_{22}>10^{10}$ （目安として，$0.4771n>10.3010$ を解くと $n>21.59\cdots$ となる．） したがって，初めて $10^{10}$ を超えるのは $n=22$