等差数列と等比数列の両方に現れる数（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 等差数列と等比数列の両方に現れる数（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
等差数列 $\{a_n\}:\ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \cdots$ と等比数列 $\{b_n\}:\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ \cdots$ に共通に含まれる数を，小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\{c_n\}$ の一般項を求めよ．
\item[(2)] $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $a_n=4n+1$ であるから，$\{a_n\}$ の項は「4 で割ると 1 余る 5 以上の整数」である．
$3^m$ を 4 で割った余りは，$m$ が奇数のとき $3$，偶数のとき $1$ である（$3^1=3$ を 4 で割った余りは 3，$3^2=9$ を 4 で割った余りは 1 で，$3^{m+2}=9\cdot 3^m$ と $9$ を 4 で割った余りが 1 であることから，余りは周期 2 でくり返す）．
よって共通項は $3^m$（$m$ は偶数），すなわち $9,\ 81,\ 729,\ \cdots$ で（いずれも 5 以上），
\[ c_n=9^n \]
(2) 初項 $9$，公比 $9$ の等比数列の和で $\dfrac{9(9^n-1)}{9-1}=\dfrac{9^{n+1}-9}{8}$
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