等差数列と等比数列の両方に現れる数（A）

$a_n=3n-1$ であるから，$\{a_n\}$ の項は「3 で割ると 2 余る自然数」全体である．$b_m=2^m$ がこれに含まれる条件を調べる． $2^m$ を 3 で割った余りは，$m=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots$ に対して $2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \cdots$ と交互に現れる（$2^{m+2}=4\cdot 2^m$ で，$4$ を 3 で割った余りは 1 であるから，余りは周期 2 でくり返す）． よって $2^m$ が 3 で割って 2 余るのは $m$ が奇数のときで，共通項は $2,\ 8,\ 32,\ \cdots$．これは初項 $2$，公比 $4$ の等比数列で \[ c_n=2\cdot 4^{n-1}=2^{2n-1} \]