指数・対数で結ばれる等差数列と等比数列（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 指数・対数で結ばれる等差数列と等比数列（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 数列 $\{a_n\}$ が $a_n=3\cdot 2^{n-1}$ で表されるとき，数列 $\{\log_2 a_n\}$ は等差数列であることを示し，その公差を求めよ．
\item[(2)] 3 つの数 $a,\ b,\ c$ がこの順に等差数列をなし，その和は $15$ である．また，$a+1,\ b+3,\ c+9$ がこの順に等比数列をなす．$a,\ b,\ c$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\log_2 a_n=\log_2 3+(n-1)$ であるから，$\log_2 a_{n+1}-\log_2 a_n=1$（一定）．よって公差 $1$ の等差数列．
(2) $a+b+c=3b=15$ より $b=5$．公差を $d$ とすると $a=5-d$，$c=5+d$．$6-d,\ 8,\ 14+d$ が等比数列をなすから
\[ (6-d)(14+d)=64 \quad\text{すなわち}\quad d^2+8d-20=0 \]
$(d+10)(d-2)=0$ より $d=2,\ -10$．
$d=2$ のとき $(a,\ b,\ c)=(3,\ 5,\ 7)$（$4,\ 8,\ 16$ は等比数列）
$d=-10$ のとき $(a,\ b,\ c)=(15,\ 5,\ -5)$（$16,\ 8,\ 4$ は等比数列）
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