指数・対数で結ばれる等差数列と等比数列（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 指数・対数で結ばれる等差数列と等比数列（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 数列 $\{a_n\}$ が初項 $1$，公差 $2$ の等差数列であるとき，数列 $\{2^{a_n}\}$ は等比数列であることを示し，その公比を求めよ．
\item[(2)] 3 つの数 $2,\ a,\ b$ がこの順に等差数列をなし，$a,\ b,\ 9$ がこの順に等比数列をなすとき，$a,\ b$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $b_n=2^{a_n}$ とおくと $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2^{a_{n+1}-a_n}=2^2=4$（一定）．よって公比 $4$ の等比数列．（$b_1=2$）
(2) 条件より $2a=2+b$ ……①，$b^2=9a$ ……②
① より $a=\dfrac{2+b}{2}$．② に代入して $2b^2=9(2+b)$，$2b^2-9b-18=0$，$(2b+3)(b-6)=0$．
$b=6$ のとき $a=4$；$b=-\dfrac{3}{2}$ のとき $a=\dfrac{1}{4}$（いずれも $a,\ b\neq 0$ で適する）
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