2つの等差数列の両方に現れる数（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 2つの等差数列の両方に現れる数（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 つの等差数列 $\{a_n\}:\ 2,\ 5,\ 8,\ \cdots$ と $\{b_n\}:\ 5,\ 9,\ 13,\ \cdots$ に共通に含まれる数を，小さい順に並べてできる数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ．
$a_l=3l-1$，$b_m=4m+1$ である．$a_l=b_m$ とすると $3l-1=4m+1$，すなわち
\[ 3l=4m+2 \]
左辺は 3 の倍数であるから，$4m+2=3(m+1)+(m-1)$ より $m-1$ が 3 の倍数で，$m=3k+1$（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$）．
このとき $b_m=4(3k+1)+1=12k+5$．よって共通項は $5,\ 17,\ 29,\ \cdots$ で，初項 $5$，公差 $12$ の等差数列．
\[ c_n=5+12(n-1)=12n-7 \]
（公差は 2 つの公差 3 と 4 の最小公倍数 12 になる．）
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